AcWing 3. 如何解决完全背包问题？
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本文共计880个文字，预计阅读时间需要4分钟。
题目：有$N$种物品和容量为$V$的背包，每种物品的体积是$v_i$，价值是$w_i$。求将哪些物品装入背包，使得这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
题目
有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i$ 种物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出最大价值。
输入格式 第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积和价值。
输出格式 输出一个整数，表示最大价值。
数据范围 $0<N,V≤1000$
$0<v_i,w_i≤1000$ 输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10
思路
状态表示 -- 集合：只从前i个物品中选，总体积不超过j的集合
-- 属性：最大值
状态计算：当遍历到第i个物品时，存在取0、1、2、...、k、...多种选法
0: f[i][j] = f[i - 1][j]
1: f[i][j] = f[i - 1][j - v] + w
2: f[i][j] = f[i - 1][j - 2v] + 2w
...
k: f[i][j] = f[i - 1][j - kv] + kw
按以上思路，朴素算法：三重循环取 $max$ 即可，但朴素算法大概率超时。
这时我们不难得出： $f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v] + w, ... , f[i - 1][j - kv] + kw)$ $f[i][j - v] = max(f[i - 1][j - v], f[i - 1][j - 2v] + w, ... , f[i - 1][j - (k + 1)v] + kw)$ --> $f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v])$ 该公式可以拜托对 $k$ 的依赖，从而优化到二重循环。
之后可以将数组优化至一维，与01背包优化思路类似，不过此时正序遍历体积满足公式。
代码
1. 朴素算法，大概率超时
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
int v, w;
cin >> v >> w;
for (int j = 0; j <= m; j ++ )
for (int k = 0; k <= j / v; k ++ )
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v] + k * w);
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
2. 优化至二重循环
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
int v, w;
cin >> v >> w;
for (int j = 0; j <= m; j ++ )
{
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);
if (j >= v)
f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v] + w);
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
3. 优化数组至一维
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N];
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
int v, w;
cin >> v >> w;
for (int j = v; j <= m; j ++ )
f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
本文共计880个文字，预计阅读时间需要4分钟。
题目：有$N$种物品和容量为$V$的背包，每种物品的体积是$v_i$，价值是$w_i$。求将哪些物品装入背包，使得这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
题目
有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i$ 种物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出最大价值。
输入格式 第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积和价值。
输出格式 输出一个整数，表示最大价值。
数据范围 $0<N,V≤1000$
$0<v_i,w_i≤1000$ 输入样例
4 5
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4 5
输出样例：
10
思路
状态表示 -- 集合：只从前i个物品中选，总体积不超过j的集合
-- 属性：最大值
状态计算：当遍历到第i个物品时，存在取0、1、2、...、k、...多种选法
0: f[i][j] = f[i - 1][j]
1: f[i][j] = f[i - 1][j - v] + w
2: f[i][j] = f[i - 1][j - 2v] + 2w
...
k: f[i][j] = f[i - 1][j - kv] + kw
按以上思路，朴素算法：三重循环取 $max$ 即可，但朴素算法大概率超时。
这时我们不难得出： $f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v] + w, ... , f[i - 1][j - kv] + kw)$ $f[i][j - v] = max(f[i - 1][j - v], f[i - 1][j - 2v] + w, ... , f[i - 1][j - (k + 1)v] + kw)$ --> $f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v])$ 该公式可以拜托对 $k$ 的依赖，从而优化到二重循环。
之后可以将数组优化至一维，与01背包优化思路类似，不过此时正序遍历体积满足公式。
代码
1. 朴素算法，大概率超时
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
int v, w;
cin >> v >> w;
for (int j = 0; j <= m; j ++ )
for (int k = 0; k <= j / v; k ++ )
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v] + k * w);
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
2. 优化至二重循环
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
int v, w;
cin >> v >> w;
for (int j = 0; j <= m; j ++ )
{
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);
if (j >= v)
f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v] + w);
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
3. 优化数组至一维
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N];
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
int v, w;
cin >> v >> w;
for (int j = v; j <= m; j ++ )
f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}